Ley de Morgan
Comentario personal:
Este tema es un poco complicado ya que se debe de aprender las leyes de morgan, en mi criterio siento complicado esto pero si le pongo interés lograre entenderle. Practicando, o ver o buscar estrategias para facilitar el aprendizaje, cuando uno quiere algo lo logra si se lo propone por muy difícil que sea. Al igual que los temas antes vistos fueron un poco difícil al principio pero al practicar uno logra entender. Solo se quiere del interés de cada uno de nosotros para lograr lo que queremos.
Contenido acerca del tema:
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Contenido en donde nos explican de que trata la ley de Morgan:
Este tema es un poco complicado ya que se debe de aprender las leyes de morgan, en mi criterio siento complicado esto pero si le pongo interés lograre entenderle. Practicando, o ver o buscar estrategias para facilitar el aprendizaje, cuando uno quiere algo lo logra si se lo propone por muy difícil que sea. Al igual que los temas antes vistos fueron un poco difícil al principio pero al practicar uno logra entender. Solo se quiere del interés de cada uno de nosotros para lograr lo que queremos.
Contenido acerca del tema:
Leyes de Morgan
Las leyes de Morgan consisten en dos equivalencias lógicas entre dos formas proposicionales, a saber:
Estas leyes permiten separar la negación de una disyunción o conjunción, como negaciones de las variables involucradas.
La primera se puede leer de la siguiente manera: la negación de una disyunción es igual a la conjunción de las negaciones. Y la segunda se lee así: la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones.
En otras palabras, negar la disyunción de dos variables proposicionales equivale a la conjunción de la negaciones de ambas variables. Así mismo, negar la conjunción de dos variables proposicionales es equivalente a la disyunción de la negaciones de ambas variables.
Como se mencionó anteriormente, la sustitución de esta equivalencia lógica ayuda a demostrar resultados importantes, junto con las otras reglas de inferencia existentes. Con estas se pueden simplificar muchas fórmulas proposicionales, de manera que sean más útiles para trabajar.
El siguiente es un ejemplo de una demostración matemática utilizando reglas de inferencia, entre estas las leyes de Morgan. Específicamente, se demuestra que la fórmula:
es equivalente a:
Esta última es más simple de comprender y desarrollar.
Demostración
Cabe mencionar que la validez de las leyes de Morgan se puede demostrar matemáticamente. Una manera es comparando sus tablas de verdad.
Conjuntos
Las mismas reglas de inferencia y las nociones de lógica aplicadas a proposiciones, también se pueden desarrollar considerando conjuntos. Esto es lo que se conoce como álgebra booleana, en honor al matemático George Boole.
Para diferenciar los casos, es necesario cambiar la notación y trasladar a conjuntos, todas las nociones ya vistas de la lógica proposicional.
Un conjunto es una colección de objetos. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, C, X,… y los elementos de un conjunto se denotan con letras minúsculas a, b, c, x, etc. Cuando un elemento a pertenece a un conjunto X, se denota por:
Cuando no pertenece a X, la notación es:
La manera de representar los conjuntos es colocando sus elementos dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales se representa por:
Los conjuntos también se pueden representar sin escribir una lista explícita de sus elementos. Se pueden expresar de la forma { : }. Los dos puntos se leen “tal que”. A la izquierda de los dos puntos se coloca una variable que representa los elementos del conjunto, y del lado derecho se coloca la propiedad o condición que satisfacen. Esto es:
Por ejemplo, el conjunto de los números enteros mayores que -4 se puede expresar como:
O de manera equivalente, y más abreviada, como:
De igual manera, las siguientes expresiones representan los conjuntos de los números pares e impares, respectivamente:
Unión, intersección y complementos de conjuntos
A continuación veremos los análogos de los conectivos lógicos en el caso de conjuntos, que forman parte de las operaciones básicas entre conjuntos.
Unión e intersección
La unión y la intersección de conjuntos se definen, respectivamente, de la siguiente manera:
Por ejemplo, consideremos los conjuntos:
Entonces, se tiene que:
Complemento
El complemento de un conjunto está formado por los elementos que no pertenecen a dicho conjunto (del mismo tipo que representa el original). El complemento de un conjunto A, se denota por:
Por ejemplo, dentro de los números naturales, el complemento del conjunto de los números pares es el de los impares, y viceversa.
Para determinar el complemento de un conjunto se debe tener claro desde el principio el conjunto universal o principal de los elementos que se están considerando. Por ejemplo, no es igual considerar el complemento de un conjunto sobre los números naturales que sobre los racionales.
La siguiente tabla muestra la relación o analogía que existe entre las operaciones sobre conjuntos anteriormente definidas, y los conectivos de la lógica proposicional:
Leyes de Morgan para conjuntos
Finalmente, las leyes de Morgan sobre conjuntos son:
En palabras: el complemento de una unión es la intersección de los complementos, y el complemento de una intersección es la unión de los complementos.
Una demostración matemática de la primera igualdad sería la siguiente:
Contenido en donde nos explican de que trata la ley de Morgan:
En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan[1][2][3] son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
o informalmente como:
Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:
donde:
- ¬ es el operador de negación (NO)
- es el operador de conjunción (Y)
- es el operador de disyunción (O)
- ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica"
Entre las aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresioneslógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.
Ejemplos de la ley de Morgan.
Leyes de Morgan
Las leyes de Morgan consisten en dos equivalencias lógicas entre dos formas proposicionales, a saber:
Estas leyes permiten separar la negación de una disyunción o conjunción, como negaciones de las variables involucradas.
La primera se puede leer de la siguiente manera: la negación de una disyunción es igual a la conjunción de las negaciones. Y la segunda se lee así: la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones.
En otras palabras, negar la disyunción de dos variables proposicionales equivale a la conjunción de la negaciones de ambas variables. Así mismo, negar la conjunción de dos variables proposicionales es equivalente a la disyunción de la negaciones de ambas variables.
Como se mencionó anteriormente, la sustitución de esta equivalencia lógica ayuda a demostrar resultados importantes, junto con las otras reglas de inferencia existentes. Con estas se pueden simplificar muchas fórmulas proposicionales, de manera que sean más útiles para trabajar.
El siguiente es un ejemplo de una demostración matemática utilizando reglas de inferencia, entre estas las leyes de Morgan. Específicamente, se demuestra que la fórmula:
es equivalente a:
Esta última es más simple de comprender y desarrollar.
Demostración
Cabe mencionar que la validez de las leyes de Morgan se puede demostrar matemáticamente. Una manera es comparando sus tablas de verdad.
Conjuntos
Las mismas reglas de inferencia y las nociones de lógica aplicadas a proposiciones, también se pueden desarrollar considerando conjuntos. Esto es lo que se conoce como álgebra booleana, en honor al matemático George Boole.
Para diferenciar los casos, es necesario cambiar la notación y trasladar a conjuntos, todas las nociones ya vistas de la lógica proposicional.
Un conjunto es una colección de objetos. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, C, X,… y los elementos de un conjunto se denotan con letras minúsculas a, b, c, x, etc. Cuando un elemento a pertenece a un conjunto X, se denota por:
Cuando no pertenece a X, la notación es:
La manera de representar los conjuntos es colocando sus elementos dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales se representa por:
Los conjuntos también se pueden representar sin escribir una lista explícita de sus elementos. Se pueden expresar de la forma { : }. Los dos puntos se leen “tal que”. A la izquierda de los dos puntos se coloca una variable que representa los elementos del conjunto, y del lado derecho se coloca la propiedad o condición que satisfacen. Esto es:
Por ejemplo, el conjunto de los números enteros mayores que -4 se puede expresar como:
O de manera equivalente, y más abreviada, como:
De igual manera, las siguientes expresiones representan los conjuntos de los números pares e impares, respectivamente:
Unión, intersección y complementos de conjuntos
A continuación veremos los análogos de los conectivos lógicos en el caso de conjuntos, que forman parte de las operaciones básicas entre conjuntos.
Unión e intersección
La unión y la intersección de conjuntos se definen, respectivamente, de la siguiente manera:
Por ejemplo, consideremos los conjuntos:
Entonces, se tiene que:
Complemento
El complemento de un conjunto está formado por los elementos que no pertenecen a dicho conjunto (del mismo tipo que representa el original). El complemento de un conjunto A, se denota por:
Por ejemplo, dentro de los números naturales, el complemento del conjunto de los números pares es el de los impares, y viceversa.
Para determinar el complemento de un conjunto se debe tener claro desde el principio el conjunto universal o principal de los elementos que se están considerando. Por ejemplo, no es igual considerar el complemento de un conjunto sobre los números naturales que sobre los racionales.
La siguiente tabla muestra la relación o analogía que existe entre las operaciones sobre conjuntos anteriormente definidas, y los conectivos de la lógica proposicional:
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