Teoría de conjuntos
Comentario:
Este tema está un poco sencillo, aunque al principio me costó entenderle pero al ir viendo los ejercicios y practicarlos, me he podido dar cuenta que es algo sencillo, solo se requiere de interés para ponerse a practicar cada ejercicio y es de la única manera que uno se puede dar cuenta si será fácil o será difícil dicho tema, con forme se va practicando se van presentando las dificultades y de una vez se van resolviendo las dudas. Este se ve un tema difícil pero como lo dije antes, si uno quiere aprender aprende, practicando y resolviendo dudas.
Contenido en el que nos explican acerca del tema.
Curso Intensivo de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares (7−07−09)
José María Martínez Mediano
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TEORÍA DE CONJUNTOS: IDEAS BÁSICAS
Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se
llama elemento del conjunto.
Un conjunto puede darse enumerando todos y cada uno de los elementos
que lo forman. Cuando tal enumeración sea larga o imposible se recurre a
fórmulas de recurrencia o a expresiones generalistas. Los conjuntos
suelen designarse mediante letras mayúsculas, A, B, C…. Los elementos
del conjunto se escriben entre llaves; así: A = {a, b, c…}.
El conjunto vacío no tiene ningún elemento. Se representa por la letra ∅.
Este conjunto se define como una necesidad teórica; se necesita para
aceptar algunas propiedades.
Relación de pertenencia
Un elemento pertenece a un conjunto cuando es de él. Si el elemento a
pertenece al conjunto A se escribe a ∈ A. Si el elemento p no pertenece
al conjunto A se escribe p ∉ A.
Ejemplos:
a) El conjunto de los resultados que se obtienen al tirar un dado con las
caras numeradas del 1 al 6 es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
El elemento 7∉ E.
b) El conjunto de los números naturales es N = {1, 2, 3, …}.
El número 10 ∈ N, pero 3,2 ∉ N.
c) De manera inconcreta nos podemos referir al “conjunto de objetos que
una persona lleva en una bolsa”; al “conjunto de personas que trabajan en
un edificio”.
d) Con las letras Z, Q y R se designan los conjuntos de los números
enteros, racionales y reales, respectivamente.
e) La expresión R − {−2, 3} indica el conjunto de todos los números
reales menos los números −2 y 3.
Subconjuntos
Un subconjunto de A es cualquier conjunto formado por cualquier
número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el
conjunto ∅ y el mismo A.
Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A; y también
se lee “B está contenido en A”.
Por los dicho antes, ∅ ⊂ A y A ⊂ A.
El símbolo ⊂ puede leerse al revés: ⊃. Esto es, B ⊂ A es lo mismo que A
⊃ B. (La parte abierta señala al conjunto mayor.)
No debe escribirse B ∈ A para indicar la relación B ⊂ A.
En cambio, si a ∈ A puede escribirse {a} ⊂ A. Al meter el elemento a
entre llaves se considera el conjunto unitario {a}.
Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C ⊄ A.
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Este tema está un poco sencillo, aunque al principio me costó entenderle pero al ir viendo los ejercicios y practicarlos, me he podido dar cuenta que es algo sencillo, solo se requiere de interés para ponerse a practicar cada ejercicio y es de la única manera que uno se puede dar cuenta si será fácil o será difícil dicho tema, con forme se va practicando se van presentando las dificultades y de una vez se van resolviendo las dudas. Este se ve un tema difícil pero como lo dije antes, si uno quiere aprender aprende, practicando y resolviendo dudas.
Contenido en el que nos explican acerca del tema.
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.[1]
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel.
Ejemplos de teoría de conjuntos
Ejemplo 1
En una escuela hay 130 alumnos, 50 juegan con una pelota en el receso, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una pelota o cuerda? ¿Cuantos alumnos no juegan con una pelota? ¿Cuantas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo)
Ejemplo 2
Se les regalaron a 200 personas, playeras de dos grupos de géneros (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambas. ¿Cuantas personas quieren de rock o banda? ¿Cuantas personas no quieren de rock? ¿Cuantas personas no quieren ninguna? (esto no es un ejemplo de un conjunto)
José María Martínez Mediano
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TEORÍA DE CONJUNTOS: IDEAS BÁSICAS
Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se
llama elemento del conjunto.
Un conjunto puede darse enumerando todos y cada uno de los elementos
que lo forman. Cuando tal enumeración sea larga o imposible se recurre a
fórmulas de recurrencia o a expresiones generalistas. Los conjuntos
suelen designarse mediante letras mayúsculas, A, B, C…. Los elementos
del conjunto se escriben entre llaves; así: A = {a, b, c…}.
El conjunto vacío no tiene ningún elemento. Se representa por la letra ∅.
Este conjunto se define como una necesidad teórica; se necesita para
aceptar algunas propiedades.
Relación de pertenencia
Un elemento pertenece a un conjunto cuando es de él. Si el elemento a
pertenece al conjunto A se escribe a ∈ A. Si el elemento p no pertenece
al conjunto A se escribe p ∉ A.
Ejemplos:
a) El conjunto de los resultados que se obtienen al tirar un dado con las
caras numeradas del 1 al 6 es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
El elemento 7∉ E.
b) El conjunto de los números naturales es N = {1, 2, 3, …}.
El número 10 ∈ N, pero 3,2 ∉ N.
c) De manera inconcreta nos podemos referir al “conjunto de objetos que
una persona lleva en una bolsa”; al “conjunto de personas que trabajan en
un edificio”.
d) Con las letras Z, Q y R se designan los conjuntos de los números
enteros, racionales y reales, respectivamente.
e) La expresión R − {−2, 3} indica el conjunto de todos los números
reales menos los números −2 y 3.
Subconjuntos
Un subconjunto de A es cualquier conjunto formado por cualquier
número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el
conjunto ∅ y el mismo A.
Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A; y también
se lee “B está contenido en A”.
Por los dicho antes, ∅ ⊂ A y A ⊂ A.
El símbolo ⊂ puede leerse al revés: ⊃. Esto es, B ⊂ A es lo mismo que A
⊃ B. (La parte abierta señala al conjunto mayor.)
No debe escribirse B ∈ A para indicar la relación B ⊂ A.
En cambio, si a ∈ A puede escribirse {a} ⊂ A. Al meter el elemento a
entre llaves se considera el conjunto unitario {a}.
Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C ⊄ A.
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