Aplicación de las operaciones con conjuntos

Comentario personal:
Este tema si en realidad logre entenderlo, al principio se me dificultó un poco pero al buscar la estrategia que se debe aplicar en cada tema se facilita lo que se quiere. También se debe estudiar o más bien, ver los ejemplos y ver como es que están resueltos los ejemplos y ahí uno se va dando cuenta de como ir haciendo lo demás. La verdad está clase es muy bonita solo se debe analizar para  no complicarse  a la hora de realizar dichas tareas. Como lo es en este tema, es similar al anterior solo que en este logre entender las estrategias que se deben utilizar para realizar las tareas.
Definición del tema
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.
Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:
  • Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como:
{\displaystyle x\in A\quad \longrightarrow } x pertenece a A.
{\displaystyle x\notin A\quad \longrightarrow } x no pertenece a A.
  • Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos
{\displaystyle A=B\quad \longrightarrow } A es igual a B.
{\displaystyle A\neq B\quad \longrightarrow } A no es igual a B.
  • Inclusión. Dado un conjunto A, subcolección del conjunto B o igual a este, sus elementos son un subconjunto de B, y se indica como:
{\displaystyle A\subseteq B\quad \longrightarrow }A es un subconjunto de B.
{\displaystyle A\nsubseteq B\quad \longrightarrow } A no es subconjunto de B.
El conjunto vacío es el conjunto sin ningún elemento, y se denota por ∅ o por {}. El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. Por ejemplo, si se estudian los números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos ellos, ℕ. De manera general, el conjunto universal se denota por U.
Ejemplos

  • Cada número natural es elemento del conjunto ℕ = {1, 2, 3, ...} de los números naturales: 1 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ, etc. Cada número par es también un número natural, por lo que el conjunto P de los números pares, P = {2, 4, 6, ...}, es un subconjunto de ℕ: P ⊆ ℕ.
  • Dado el conjunto de letras V = {o, i, e, u, a}, se cumple por ejemplo que a ∈ V o también i ∈ V. El conjunto de letras U = { vocales del español } contiene los mismos elementos que V, por lo que ambos conjuntos son iguales, V = U.
Ejemplos de las aplicaciones con conjuntos 

UniónEditar

Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos A ∪ B
El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa.
 Es correspondiente a la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte de la junta una vez solamente; esto difiere del concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.
Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto {\displaystyle A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}}

EjemplosEditar

En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos:
  1. Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,6}, esto es: {1,2,3}∪{2,4,6}={1,2,3,4,6}
  2. Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol o baloncesto.

IntersecciónEditar

Diagrama de Venn que muestra la intersección de dos conjuntos A ∩ B
El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa.
Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.
Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B, por lo tanto {\displaystyle A\cap B=\{x/x\in A\land x\in B\}}
vez.

DisjuntividadEditar

Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la coincidencia de ambos es el conjunto vacío. A ∩ B= {\emptyset}

EjemplosEditar

  1. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={\emptyset} o sea serían disjuntos.
  2. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de personas que juegan sólo al baloncesto y el conjunto de personas que juegan sólo al fútbol es el conjunto vacío. Por lo tanto son disjuntos.
  3. Ejemplo: La coincidencia de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C={\emptyset}, ya que {3,7,8}∩{1,2,9}={\emptyset} por lo tanto A y B son disjuntos.

DiferenciaEditar

Diagrama de Venn que muestra la diferencia de dos conjuntos A \ B
El símbolo de esta operación es: \.
La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.
También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A.
Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si {\displaystyle \{x/x\in A\land x\not \in B\}}

EjemplosEditar

  1. Ejemplo: La diferencia de los conjuntos {1,2,3,4} y {1,3,5,7} es el conjunto {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos {1,3,5,7} y {1,2,3,4} es el conjunto {5,7}.
  2. Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol.

ComplementoEditar

Diagrama de Venn que muestra el complemento de un conjunto A
El símbolo de esta operación es: A∁, o también se suele representar con el símbolo A
Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. A=U-A
Por lo tanto, un elemento pertenece al complementario de A si, y sólo si {\displaystyle A^{c}=\{x/x\in U\land x\not \in A\}}

EjemplosEditar

  1. Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números impares
  2. Ejemplo: El complementario del conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto de personas que no lo juegan.
  3. Ejemplo: El complementario del conjunto de todos los números positivos menores de 5, incluyendo el 5 es el conjunto {1,2,3,4}

Diferencia simétricaEditar


Diagrama de Venn que muestra la diferencia simétrica de dos conjuntos A Δ B
El símbolo de esta operación es: Δ.
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene
  1. Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.
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