Magnitudes directamente proporcionales:
Decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando una depende de la otra
y si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número la otra queda también multiplicada
(o dividida) por el mismo número.
Veamos un ejemplo:
Si una entrada de cine cuesta 5 €, logicamente 2 entradas costarán 10€ y tres costarán 15 €.
10 entradas costarían.... 10 x 5 = 50 €
Así pues las magnitudes "número de entradas de cine" y "precio de las entradas" serán
directamente proporcionales.
Lo normal es que cada niño tenga 10 dedos entre sus dos manos.
Si tenemos 2 niños tendremos 20 dedos, y si tenemos 5 niños entre los cinco juntarán
50 dedos.
Las magnitudes "número de niños" y "numero de dedos" son directamente proporcionales
Cojamos dos magnitudes directamente proporcionales: "jugadores de baloncesto" y "equipos de baloncesto"
Con 5 jugadores puedo formar un equipo. Con 10 jugadores podré formar 2 equipos y así sucesivamente.
| Jugadores de baloncesto | 5 | 10 | 15 | 20 | ... | 50 |
| Equipos de baloncesto | 1 | 2 | 3 | 4 | .... | 10 |
Al cociente entre dos números que esten relacionados se le llama razón.
10/2 = 5 ; 15/3 = 5 en ambos casos 5 es la razón
los números 10, 2, 15 y 3 forman una proporciónporque tienen la misma razón
10/2 = 15/3 Se lee: "diez es a dos como 15 es a tres"
veamos ahora si los números 10, 2, 50 y 10 también forman una proporción.
10/2 = 5 la razón entre 10 y 2 es 5
50/10 = 5 la razón entre 50 y 10 también es 5
luego 10,2,50 y 10 formarán una proporción:
10/2 = 50/10 "diez es a dos como 50 es a 10"
También podremos decir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la
razón entre dos cantidades relacionadas es siempre la misma. La llamamos razón de proporcionalidad.
En este ejemplo esa razón de proporcionalidad es 5 .
REGLA DE ORO DE LAS PROPORCIONES
En toda proporción se tiene que cumplir que el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Vamos a ver si las siguientes razones forman una proporción
2/5 y 14/35
Aplicando la regla de oro de las proporciones...
2 x 35 = 70 ; 5 X 14 = 70
como el producto de los extremos es igual al producto de los medios las razones 2/5 y 14/35 forman una proporción
Ejercicios para hacer en el cuaderno
1.-
2.-
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Método de reducción a la unidad
Ejercicios para hacer en el cuaderno
8.- Una máquina ha producido 100 piezas en 4 horas, ¿ Cuántas producirá en 6 horas?
9.- Un transportista cobra 3 €€ por cada 4 km ¿ Cuánto cobrará por un recorrido de 120 km?
10.- Clara ha tardado 3 horas en escribir 16 páginas de su trabajo de literatura ¿ Cuántas páginas podrá escribir en una hora y media?
11.-
12.-
13.-
PORCENTAJES
Un tanto por ciento o porcentaje expresa la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se usa el símbolo %.
En realidad no deja de ser una proporción en la que uno de sus términos es 100.
Por ejemplo: Si en la etiqueta de un refresco de naranja leemos que contiene un 25% de zumo natural, eso quiere decir que de cada 100 ml. de refresco 25 ml. son de zumo natural. El resto serán otros ingredientes del zumo (agua, azucar, conservantes....)
Si nos dicen que en una clase de 30 alumos el 40% son chicas y queremos saber cuantas chichas hay sólo tenemos que plantear la siguiente proporción
| Alumnos | 100 | 30 |
| Chicas | 40 | ¿X? |
Aplicando la regla de las proporciones
100· X = 30 · 40
100·X = 1200 entonces X = 1200 : 100 = 12
En la clase habrá por tanto 12 chicas.
Cálculo del porcentaje o tanto por ciento
Si en una bandeja de dos docenas de pasteles 6 son de chocolate ¿Cuál será el tanto por ciento de pasteles de chocolate?
Planteamos la siguiente proporción
| Pasteles | 24 | 100 |
| Past. de chocolate | 6 | ¿X? |
De nuevo aplicamos la regla de las proporciones
24·X = 6·100
24·X = 600 entonces X = 600:24 = 25
Diremos por tanto que el 25% de los pasteles de la bandeja son de chocolate
101 alumnos de primero de la ESO han aprobado las matemáticas lo que representa un 80,16 % del total de los alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en primero de la ESO?
| Nº de alumnos | 100 | ¿X? |
Aprueban
mates. | 80,16 | 101 |
100·101 = 80,16·X
10100 = 80,16·X entonces X =10100:80,16 = 125,99
Luego en Primero de la ESO habra 126 alumnos
Queremos comprar un ordenador cuyo precio de fábrica es de 562 €. A ese precio hay que añadirle el 21 % de IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido)
¿Cuánto tendré que pagar en total por el ordenador?
Podemos hacerlo de dos maneras:
1ª.- Calculamos el 21 % de 562 y el resultado lo sumamos a 562 para saber el precio final
| Precio fábrica | 100 | 562 |
| Incremento | 21 | ¿X? |
100·X = 21·562
100·X = 11802 entonces X = 11802 :100 = 118,02
Esto es lo que tendré que pagar de IVA.
Luego al precio de fábrica del ordenador le tendré que sumar el impuesto que acabo de calcular
562 + 118,02 = 680,02
Al final tendré que pagar 680,02 € por el ordenador (con el IVA ya incluido)
2ª Otra forma de calcularlo es la siguiente.
Si por cada 100 € que cueste el ordenador tengo que pagar además 21 de IVA al final tendré que pagar 100 + 21 = 121 €
Planteo la siguiente proporción
| Precio fábrica | 100 | 562 |
| Precio con IVA | 121 | ¿X? |
100·X = 562·121
100·X = 68002 entonces X = 68002 : 100 = 680,02
Este será el precio final con el IVA ya incluido
En una tienda de deportes todos sus artículos están rebajados un 20% sobre el precio indicado. Me han gustado unas zapatillas de deporte que están marcadas en 80 €. ¿Cuánto tendré que pagar por ellas una vez hecho el descuento?
Estos problemas son parecidos a los de incremento y también podemos resolverlos de dos maneras:
1º Calcular el importe del descuento y después restarlo al precio marcado. En este caso habrá que calcular el 20 % de 80 y el resultado restarlo a 80.
| Precio Marcado | 100 | 80 |
| Descuento | 20 | ¿X? |
100·X = 20·80
100·X = 1600 entonces X = 1600 : 100 = 16
16 € será el importe del descuento. De manera que las zapatillas me costarán:
80 - 16 = 64 €
2º La otra forma de calcularlo es así
Si un artículo cuesta 100 € como me descuentan un 20% solo tendría que pagar 80 €
Planteo la siguiente proporción
| Precio marcado | 100 | 80 |
| Precio con descuento | 80 | ¿X? |
100·X = 80 · 80
100·X = 6400 entonces X = 6400 : 100 = 64
Tendré que pagar 64€ por las zapatillas.
Ejercicios para hacer en el cuaderno
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22.- De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
23.- Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
24.- Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
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